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Développement en harmoniques sphériques

Table des matières

• 1 -- Concept de développement en harmoniques sphériques
  • 1.1 - Domaines d'application
  • 1.2 - Approche dans le plan
  • 1.3 - Polynômes de LEGENDRE
  • 1.4 - Représentation graphique
• 2 -- Harmoniques sphériques des fonctions de deux angles
  • 2.1 - Décomposition en harmoniques
  • 2.2 - Fonctions associées de LEGENDRE
• 3 -- Harmoniques sphériques généralisées
  • 3.1 - Orientation dans l'espace et angles d'EULER
  • 3.2 - Harmoniques sphériques pour trois angles
• 4 -- Bibliographie et liens
  • 4.1 - Bibliographie
  • 4.2 - Liens

1 -- Concept de développement en harmoniques sphériques

1.1 - Domaines d'application

Une des manières de représenter une fonction de l'orientation de l'espace, est d'utiliser le développement en harmoniques sphériques. Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de FOURIER¹ pour les fonctions périodiques.

Fig. 1.1 - Décomposition en séries de Fourier
Cliquer ici pour un agrandissement

Les harmoniques sphériques sont utilisées en acoustique (reconstitution de l'effet d'espace par plusieurs haut-parleurs), en géophysique (représentation du globe terrestre, champ de gravitation, météorologie) et en physique quantique (développement d'une fonction d'onde, densité du nuage électronique), mais aussi dans tout domaine ou une valeur change en fonction de l'orientation (anisotropie), comme par exemple la distribution des orientations cristallines dans un solide (orientations préférentielles, texture). Ce dernier domaine fait même appels aux harmoniques sphériques généralisées, puisque l'orientation d'un cristal est décrite par trois angles au lieu de deux pour les autres domaines cités.

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1.2 - Approche dans le plan

Plaçons-nous dans le plan (x,y), et considérons une fonction r=f(θ), r étant le rayon (la distance du point considéré à l'origine O), et θ l'angle entre le rayon et la droite Ox. Il s'agit là de coordonnées polaires habituelles.

Fig. 1.2 - Repérage en coordonnées polaires dans le plan

Si nous déplions cette fonction, on peut la décomposer en série de Fourier. Si maintenant nous enroulons les fonctions sinusoïdales autour de O, nous voyons apparaître ce que nous pourrions appeler des "harmoniques circulaires".

Notre fonction ƒ peut donc se décomposer en harmoniques circulaires Y_i(θ) :

ƒ(θ) = ∑_{i = 0}^+∞ C_i.Y_i(θ)

Fig. 1.3 - Décomposition d'une fonction angulaire en une somme pondérée de fonctions élémentaires

Notes :

• 1 - Joseph Fourier (1768-1830), mathématicien français
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1.3 - Polynômes de LEGENDRE

En fait, on n'utilise pas simplement des fonctions sin(n.ν.θ) et cos(n.ν.θ), comme dans les séries de FOURIER, mais les «polynômes de LEGENDRE²» P_l :

Y_l(θ) = P_l(cos θ)

Les polynômes de LEGENDRE présentent l'avantage d'être des solutions de l'équation de LAPLACE³

Δ U = 0
soit
∂U/∂x + ∂U/∂y + ∂U/∂z = 0

• P₀(cos θ) = 1 (fonction isotrope) ;
• P₁(cos θ) = cos θ ;
• P₂(cos θ) = ¼.(3.cos 2θ +1) ;
• P₃(cos θ) = 1/8.(5.cos 3θ + 3.cos θ) ;
• ...

Notes :

• 2 - Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833), mathématicien français
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• 3 - Pierre Simon, marquis de LAPLACE (1749-1827), physicien français
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1.4 - Représentation graphique

Nous représentons ces fonctions ci-après, sous trois formes :

• Y_l(θ)
  dans un diagramme Y = ƒ(θ) ;
• r = r₀ + r₁.Y_l(θ)
  (r₁ < r₀) dans un diagramme polaire, ceci permet de voir l'écart au cercle (en pointillés) ;
• r = |Y_l|²
  dans un diagramme polaire, car dans un certain nombre de cas, la fonction est une amplitude et l'on s'intéresse à l'énergie (acoustique, probabilité de présence en physique quantique).

l = 1
l = 2
l = 3

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