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Développement en harmoniques sphériques

Table des matières

• 3 -- Harmoniques sphériques généralisées
  • 3.1 - Orientation dans l'espace et angles d'EULER
  • 3.2 - Harmoniques sphériques pour trois angles

3 -- Harmoniques sphériques généralisées

3.1 - Orientation dans l'espace et angles d'EULER

Considérons maintenant une fonction dépendant de trois angles, ƒ(θ, φ, ω).

Fig. 3.1 - Repérage en coordonnées polaires dans l'espace

Typiquement, cette fonction dépend de l'orientation qu'a un objet dans un référentiel. Pour décrire l'orientation de l'objet, on définit trois axes (e₁, e₂, e₃) associés à l'objet. Initialement, ces axes sont alignés sur les axes (x, y, z) du référentiel ; puis, on fait tourner l'objet, les angles descriptifs θ, φ et ω sont les angles des rotations¹. Un application typique est l'orientation des cristallites dans de la matière polycristalline (roche, métal), où l'on considère la fonction de distribution d'orientation (FDO, en anglais ODF - orientation distribution function), c'est à dire le volume de matière dans des cristaux dont l'orientation est dans un angle solide ([θ,θ+Δθ], [φ,φ+Δφ], [ω+Δω]).

Fig. 3.2 - Orientation d'un objet dans un référentiel

Pour représenter cette orientation dans l'espace, on préfère souvent utiliser les angles d'EULER² ; le repère (e₁, e₂, e₃) lié à l'objet peut être obtenu en appliquant trois rotations successives au repère (x, y, z) du référentiel :

• une rotation d'angle φ₁ autour de l'axe des z, on obtient ainsi le repère (x', y', z) ;
• une rotation d'angle Φ autour de l'axe des x', on obtient ainsi le repère (x', y'', z'') ;
• une rotation d'angle φ₂ autour de l'axe des z'', on obtient ainsi le repère (e₁, e₂, e₃).

Fig. 3.2 - Orientation d'un objet et angles d'EULER

On peut donc considérer la fonction ƒ(φ₁, Φ, φ₂).

Notes :

• 1 - on peut montrer en géométrie que toute rotation arbitraire dans l'espace peut se décomposer en trois rotations selon trois axes non coplanaires
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• 2 - Leonard EULER (1707, 1783), mathématicien suisse
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3.2 - Harmoniques sphériques pour trois angles

De la même manière que précédemment, cette fonction peut se décomposer en une série de fonctions élémentaires T_l^m,n(φ₁, Φ, φ₂), l, m et n étant des paramètres entiers définissant la fonction :

ƒ(φ₁, Φ, φ₂) = ∑_l=0^+∞ ∑_m=-l^l ∑_n=-l^l C_l^m,n. T_l^m,n(φ₁, Φ, φ₂)

T_l^m,n(φ₁, Φ, φ₂) = e^imφ2 . P_l^m,n(cos Φ) . e^imφ1

Quand x décrit [-1;1], cette fonction P_l^m,n(x) est soit réelle, soit imaginaire pure. T₀^0,0(φ₁, Φ, φ₂) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

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