Introduction aux ondes - 3

3 -- Propriétés et modèle

3.1 - Réflexion
3.2 - Diffraction : rencontre avec un obstacle
3.3 - Interférences : rencontre de vagues
3.4 - Le sinus
3.5 - Bilan

3.1 - Réflexion

L'expérience nous montre que lorsque la vague frappe le bord de la piscine de face, elle repart en arrière ; c'est la réflexion.

Fig. 3.1 - Réflexion de la vague sur le bord de la piscine vue en coupe

Si elle ne se présente pas face au bord, elle est réfléchie de sorte que le front fasse le même angle avec le bord après réflexion.

Fig. 3.2 - Réflexion de la vague sur le bord de la piscine lorsque le front n'est pas parallèle au bord

Si l'on considère la droite qui figure la direction de progression, les droites avant et après réflexion sont symétriques par rapport au bord, comme si c'était la trajectoire d'une boule de billard rebondissant ; on appelle ceci la réflexion de Descartes ¹.

Fig. 3.3 - Réflexion de Descartes : les fronts font le même angle a avec le bord, les directions font le même angle b avec le bord, analogie avec le rebond d'une boule de billard

La réflexion est en fait un cas particulier de la diffraction (cf. paragraphe suivant).

Note
1 - René Descartes, philosophe, mathématicien et physicien français (1596-1650) retour

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3.2 - Diffraction : rencontre avec un obstacle

Lorsque que des vagues rencontrent un obstacle, elles sont perturbées, c'est ce que l'on appelle la diffraction ; deux cas se présentent :

l'obstacle est petit par rapport à la longueur d'onde des vagues, on observe des perturbations dans toutes les directions ;
l'obstacle est grand par rapport à la longueur d'onde des vagues,, la diffraction se présente donc comme une réflexion (cf. paragraphe précédent), sauf aux bords de l'objet où l'on a des perturbations dans tous les sens.

La taille limite est la longueur d'onde -- c'est bien sûr un ordre de grandeur ; disons que si l'on prend plusieurs poteaux dont la taille varie entre 0,1.l et 0,1.l, le phénomène "réflexion" prendra le pas sur le phénomène "perturbations dans tous les sens" au fur et à mesure que la taille augmente. Si l'objet est très petit, on risque par contre de ne rien voir...

Fig. 3.4 - Diffraction : perturbations faible si l'objet est très petit, perturbations dans tous les sens si la taille de l'objet est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde des vagues, réflexion si la taille de l'objet est grande devant la longueur d'onde des vagues

La diffraction peut également se faire par un trou, par exemple une séparation entre deux bassins, ou bien l'entrée d'un port. On observe en fait les bords de deux objets très grands placés côte à côte, mais il est plus simple de considérer que c'est le trou qui provoque la diffraction. Si la taille du trou est grand que la longueur d'onde des vagues, on observe un front droit en face du trou et un front courbe sur les côtés. Si la taille du trou est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde ou plus petit, le front droit disparaît.

Fig. 3.5 - Diffraction par un trou : a - front courbe si le trou est petit devant la longueur d'onde des vagues ; b - présence d'un front droit si la trou est assez grand par rapport à la longueur d'onde des vagues

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3.3 - Interférences : rencontre de vagues

Lorsque deux vagues se rencontrent, elles se superposent, les hauteurs s'ajoutent -- ajouter dans le sens algébrique du terme, c'est à dire que deux "bosses" s'ajoutent (interférence constructrice), deux "creux" s'ajoutent (interférence constructrice), mais un "creux" et une "bosse" se retranchent (interférence destructrice).

Fig. 3.6 - Lorsque les vagues se superposent interférences constructrice et destructrice

Autrement dit, selon les cas, elle peuvent s'amplifier, on parle alors d'interférences constructrices ; dans d'autres cas, elle peuvent s'annuler, on parle alors d'interférences destructrices.

Fig. 3.7 - Interférence de deux vagues se croisant, interférence constructrice (c) et destructrice (d)

Le cas le plus intéressant est celui de vagues périodiques. Pour illustrer ce phénomène, on considère souvent trois cas typiques, les vagues ayant les mêmes amplitudes :

les fréquences sont différentes et très proches, on voit apparaître des fuseaux, la courbe est limitée par une "enveloppe" ;

Fig. 3.8 - Interférence de vagues périodiques de fréquences légèrement différentes : interférences constructrices (c), destructrices (d) et enveloppe globale
les fréquences sont très différentes, on a alors l'impression que la courbe basse fréquences est modulée par la courbe hautes fréquences

Fig. 3.9 - Interférence de vagues périodiques de fréquences très différentes : modulation de la basse fréquence par la haute fréquence
les fréquences sont les mêmes, mais les courbes sont décalées (on dit aussi déphasées), on voit que la courbe résultante est une courbe simple, mais que l'amplitude varie selon l'importance du décalage ; elle est très importante si les courbes sont peu décalées (interférences constructrices), mais très faible si le décalage est proche d'une demi-longueur d'onde (interférences destructrices) ; si le décalage est exactement d'une demi-longueur d'onde, alors la résultante est nulle (les vagues sont alors dites "en opposition de phase").

Fig. 3.10 - Interférence de vagues périodiques de même fréquences mais décalées ; interférences constructrices si le décalage est faible, destructrices si il est proche de l/2

Ondes stationnaires

Dans le cas d'un "train de vagues" qui est réfléchi par le bord de la piscine, les vagues déjà réfléchies interfèrent avec les vagues qui arrivent. Les vagues réfléchies sont alors identiques au vagues qui arrivent (elles sont symétriques), mais elles sont déphasées, on a donc une succession dans le temps d'interférences constructrices et destructrices.

Fig. 3.11 - Interférence de vagues incidentes et de vagues réfléchies, succession d'interférences constructrices et destructrices

Dans le cas où le bassin est petit et où l'onde s'étend sur toute la largeur, on a donc en permanence ce phénomène. On voit qu'en fait à certains endroits, les interférences sont toujours destructrices, on parle de noeuds de déplacement (la surface est "nouée" à cet endroit), et qu'à d'autres endroits, on atteint des hauteurs maximales, on parle alors de ventre de déplacement (en raison de la forme "ventrue"). La surface de l'eau est contenue dans une enveloppe, les vagues montent et descendent "sur place", sans se déplacer. Comme les vagues sont piégées par les bords du bassin, on parle d'ondes stationnaires par opposition aux ondes progressives (cf. 2.5).

Fig. 3.12 - Onde stationnaire : enveloppe, ventres et noeuds de déplacement

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3.4 - Le sinus

Il ne s'agit pas de parler ici des sinus (ce n'est pas de l'anatomie) mais de la fonction mathématique. Si l'on considère, dans le plan géométrique, le cercle centré en O et de rayon 1 (appelé cercle trigonométrique), alors, le sinus d'un angle a est l'ordonnée du point du cercle correspondant à cet angle.

Fig. 3.13 - Définition de la fonction sinus

Par exemple, si l'on prend une roue de vélo de rayon r tournant à vitesse constante avec une fréquence n, et que l'on appelle h l'altitude de la valve de gonflage, on a :

h(t) = R + R.sin(2pn.t + a)

À l'instant initial t = 0, la valve est à l'altitude h(0) = R + R.sin(a), a est appelé phase à l'origine. On appelle pulsation la quantité notée w (oméga minuscule) :

w = 2pn = 2p/T

Fig. 3.14 - La hauteur de la valve : une fonction sinus

C'est une fonction périodique (elle prend la même valeur toutes les T secondes), d'amplitude R.

Dans les phénomènes périodiques où il y a une rotation, comme par exemple le mouvement des astres ou bien la production d'électricité par un alternateur (dynamo de vélo, centrale thermique classique ou nucléaire...), cette fonction sinus décrit parfaitement le phénomène. Cependant, du fait de sa simplicité et de ses propriétés intéressantes, cette fonction sert également de modèle à la plupart des phénomènes périodiques quels qu'ils soient. On peut en effet montrer qu'un phénoméne périodique quelconque peut se décomposer en une superposition de phénomènes sinusoiïdaux simples (développement en séries de Fourier ²).

Fig. 3.15 - Décomposition d'une fonction périodique complexe en fonctions sinusoïdales simples

Equation de l'onde

Dans le cas d'une onde à front droit, si l'axe des x est perpendiculaire au front et orienté dans le sens de la progression (cf. 2.5), on peut écrire la hauteur H en fonction de l'emplacement x et du temps t :

H(x,t) = A. sin[2p(t/T - x/l) + a]

= A. sin[2p(n.t - x/l) + a]

phase à l'origine

On peut définir la pulsation omega (en radians par seconde)

w = 2.p/T = 2.p.n

k = 2.p/l

H(x,t) = H₀. sin(w.t - k.x + a)

₁

₂

[H₁+H₂](x,t) = A₁. sin(w₁.t - k₁.x + a₁) + A₂. sin(w₂.t - k₂.x + a₂)

Note
2 - Joseph Fourier, mathématicien français (1768-1830) retour

3.5 - Bilan

Lorsque deux ondes se rencontrent, les hauteurs s'ajoutent (et se retranchent), on parle d'interférences.

Lorsqu'une onde rencontre un obstacle, elle est réfléchie, on parle alors de diffraction :

si l'objet est plus petit que la longueur d'onde, il se forme des fronts courbes, les perturbations se propagent dans tous les sens ;
si l'objet est plus grand que la longueur d'onde, on assiste à une réflexion "simple".

si le trou est plus petit que la longueur d'onde, il se forme des fronts courbes, les perturbations se propagent dans tous les sens ;
si l'objet est plus grand que la longueur d'onde, il y a un front plan de la largeur du trou, et des fronts courbes sur les côtés.

Lorsqu'une onde est "piégée" dans un bassin, il se forme une onde stationnaire : les creux et les bosses se forment toujours aux mêmes endroits (appelés ventres de déplacement), la surface est épinglée entre deux ventres (ce sont les noeuds de déplacement).

Les ondes périodiques peuvent se modéliser avec la fonction sinus, ce qui permet de calculer facilement les effets d'interférence, de diffraction et d'ondes stationnaires.

Un autre site :
SCIO, site de vulgarisation de la physique

H(x,t)	= A. sin[2p(t/T - x/l) + a]
	= A. sin[2p(n.t - x/l) + a]