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Éléments de cristallographie - 4

• 4.1 - La structure hexagonale compacte
• 4.2 - Nombre de motifs par maille
• 4.3 - Relations géométriques dans la maille
• 4.4 - Empilements compacts

Les mailles élémentaires étant empilées, un noeud peut être partagé par plusieurs mailles. Cela s'illustre facilement lorsque l'on considère un cristal monoatomique dans l'hypothèse des sphères dures.

Fig. 4-5 Atomes "partagés" entre plusieurs mailles dans le cas a - d'un réseau cubique simple et b - cubique à faces centrées

On voit qu'un motif situé à un sommet est partagé entre 8 mailles, il compte donc pour 1/8^e dans la maille. De même, un motif situé au milieu d'une face est partagé entre deux mailles, il compte donc pour 1/2 dans la maille. Et un atome situé au centre de la maille compte pour 1 puisqu'il n'est pas partagé. Les mailles élémentaires comprennent donc :

• maille simple (P) : huit huitièmes de motif à chaque sommet, soit un motif ;
• maille centrée (I) : huit huitièmes de motif à chaque sommet, plus un motif au centre, soit deux motifs ;
• maille à faces centrées (F) : huit huitièmes de motif à chaque sommet, plus six moitiés de motif au centre de chaque face, soit quatre motifs ;
• maille à deux faces centrées (C) : huit huitièmes de motif à chaque sommet, plus deux moitiés de motif au centre de faces, soit deux motifs.

Exemples :

• fer alpha (ferrite), cubique centré de paramètre a = 2,886 angström, masse d'une mole de Fe M = 55,85 g :
  volume d'une maille V = a³ = 2,404.10^-29 m³
  masse d'une maille m = 2 (motifs) * 55,85.10^-3/6,02.10²³ = 1,86.10^-25 kg
  masse volumique rhô r = 7,72.10³kg.m^-3 = 7,72 g.cm^-3 (valeur expérimentale 7,87 g.cm^-3) ;
• fer gamma (acier austénitique contenant donc du carbone), cubique à faces centrées de paramètre a = 3,60 angström, masse d'une mole de Fe M = 55,85 g :
  volume d'une maille V = a³ = 4,67.10^-29 m³
  masse d'une maille m = 4 (motifs) * 55,85.10^-3/6,02.10²³ = 3,71.10^-25 kg
  masse volumique rhô r = 7,95.10³ kg.m^-3 = 7,95 g.cm^-3 (valeur expérimentale 8 g.cm^-3 g.cm^-3 pour 0,75 % en masse de C).
• magnésium, hexagonal compact de paramètres a = 3,21 angström et c = 5,21 angström masse d'une mole de Mg M = 24,31 g :
  volume d'une maille V = racine(3)/2*a²*c = 4,57.10^-29 m³
  masse d'une maille m = 2 (motifs) * 24,31.10^-3/6,02.10²³ = 8,08.10^-26 kg
  masse volumique rhô r = 1,77.10³ kg.m^-3 = 1,77 g.cm^-3 (valeur expérimentale 1,74 g.cm^-3).

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